Dérivée d'un produit de fonctions

Théorème

Si \(u\) et \(v\) sont deux fonctions dérivables sur un même intervalle \(I\) de `\mathbb{R}`, alors la fonction produit \(u\times v\) est dérivable sur \(I\) et \(\boxed{(u \times v)'=u' \times v+u \times v'}\).

Exemple

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\color{blue}{(3x^2+5x)}\color{green}{(4x-2)}\).

• La fonction \(f\) est un produit de fonctions : pour tout réel \(x\), \(f(x)=\color{blue}{u(x)} \times \color{green}{v(x)}\).
• On pose, pour tout \(x\) réel :
  \(\color{blue}{u(x)=3x^2+5x}\)  et \(\color{green}{v(x)=4x-2}\). 
  \(u\) et \(v\) sont dérivables sur `\mathbb{R}` car ce sont des fonctions polynômes.
  Pour tout réel \(x\), \(\color{blue}{u'(x)=6x+5}\) et \(\color{green}{v'(x)=4}\).  
  
• Ainsi \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\). Pour déterminer sa dérivée, on applique la formule pour dériver un produit de fonctions : pour tout réel \(x\), \(f'(x)=\color{blue}{u'(x)} \times \color{green}{v(x)} + \color{blue}{u(x)} \times \color{green}{v'(x)}\).
  Soit \(f'(x)=\color{red}{(}\color{blue}{6x+5} \color{red}{)}\times \color{red}{(}\color{green}{4x-2}\color{red}{)} + \color{red}{(}\color{blue}{3x^2+5x}\color{red}{)} \times \color{green}{4}\),   
  soit \(f'(x)=24x^2-12x+20x-10+12x^2+20x\),    
  soit \(f'(x)=36x^2+28x-10\).